Kategorie: Graphentheorie

Graphentheorie

Graphentheorie die Studie von Graphen und Problemen, die zu Graphen reduziert werden können, und in diesem Zusammenhang ist sowohl ein Bereich der diskreten Mathematik und ein wichtiges Instrument in der Informatik , in dem sie verwendet werden , können viele Aufgaben wie Terminplanung, Routenfindung, jobtilordning, zu lösen Zeichnung von Zeichen in einer Zeile, und die lineare Programmierung . Darüber hinaus grafische Darstellungen von großer Bedeutung in der Komplexitätstheorie .

Ein Graph kann in diesem Zusammenhang durch einen Graphen dargestellt werden , die aus einer Vielzahl von Punkten ( Knoten an eine Vielzahl von angeschlossenen) Kanten . Jede Kante wird als ein Liniensegment (oder Kurvenstück) mit Knoten dargestellt als zwei Endpunkte.

Definitionen

Ein Diagramm oder unorientierten Graph G ist ein Paar ( V , E ) , umfassend

  • ein Volumen V von Knoten ,
  • eine Menge EV (2) die Paarmenge von Vertices in V genannten Kanten .

Beachten Sie, dass diese Definition nicht erlaubt Schlaufen (Kanten von einem Knoten zu sich selbst) oder Doppelkanten (2 oder mehr Kanten zwischen den gleichen zwei Knoten). Ein solcher Graph wird während der Zeit eines gerufenen einfachen Graphen , und eine Kurve , wo man die Schleife und die Doppelränder erlauben kann, manchmal auch als ein Pseudo Graph .

Die Grafik auf dem Bild besteht aus

  • V = {1, 2, 3, 4, 5, 6},
  • E = {{1,2}, {1,5}, {2,3}, {2,5}, {3,4}, {4,5}, {4,6}}.

Ein Pfad in einem Graphen ist ein Ergebnis ( V 1 , V 2 , …, v n ) von Knoten in V , dann { V in , V in + 1 } ∈ E für alle 1 ≤ in <n.

Ein Fahrrad oder Kreis ist ein Pfad ( v 1 , v 2 , …, V n ) ist , dann v inv j für inj und { v n , v 1 } ∈ E .

Die Anzahl der Kanten , die von einem Knoten aufgerufen , seine Valenz .
Ein Graph G = ( V , E ) aufgerufen

  • abgeschlossen , wenn E = V (2) , d.h. gibt es Kanten zwischen allen Knoten,
  • kohärent , wenn es einen Weg zwischen allen Knoten vorhanden ist , oder, mit anderen Worten, für alle v , wV , muss es einen Pfad ( v 1 , v 2 , …, V n ) ist , dann v = v 1 und w = v n ,
  • zweiteilige , wenn die Menge von Knoten V kann in zwei unterteilt werden disjunkte Mengen X und Y ( das heißt, V = XY , XY = N), so dass alle Kanten zwischen den beiden Teilen des Graphen verlauf eX und eY für alle eE .
  • eine ebene Graphen , wenn es in dem Plan (auf einem Stück Papier gezeichnet) eingebettet werden kann , so dass keine Kanten schneiden,
  • einen Wald , wenn es keine Zyklen in der grafischen Darstellung , die durch mehr als zwei Knoten geht,
  • ein Baum , wenn es sich um einen kontinuierlicher Wald.

Ein gerichteter Graph (möglicherweise. Digraph im Englisch Digraph – gerichtete Graphen) G ist das Paar ( V , E ) , umfassend

  • ein Betrag V von Knoten,
  • eine Menge EV ² geordneter Paare von Knoten , auch Kanten genannt.

In einem gerichteten Graphen Kanten sind durch Pfeile gezeichnet, so dass man sehen kann, wie die Ränder beginnen und enden.

Geschichte

Graphentheorie geht auf das Jahr 1736 zurück , als Leonhard Euler , eine Lösung für veröffentlichten König broproblem , die die Bestimmung besteht , ob es möglich ist , alle sieben Brücken über den Fluss zu überqueren Pregel in dem damals Königsberg ohne zweimal über eine Brücke. Euler es geschafft , eine notwendige Voraussetzung für einen solchen Dienst zu beschreiben und war somit in der Lage zu beweisen , dass ein solcher Weg nicht möglich ist. In diesem Zusammenhang benutzte er Methoden , die heute unter der Graphentheorie fallen würden.

Die Begriff der Graphentheorie war zum ersten Mal im Jahr 1878 , die von Sylvester und dem ersten im Jahr 1936 von veröffentlichten Lehrbuch Dénes König . Durch Informatik wachsende Bedeutung in der zweiten Hälfte des zwanzigsten Jahrhunderts, in den letzten Jahrzehnten Graphentheorie gewonnen erheblicher Bedeutung, aber immer noch viele ungelöste Probleme enthält.

Probleme

  • Das Reiseproblem (eng: Reise Salesman Problem, TSP).
  • Konigsberg broproblem (Eulergrafer)

vollständiger graph

Eine vollständige Graph ist ein Begriff auf dem Gebiet der Graphentheorie und stellt ein einfaches Diagramm, in dem alle Knotenpaaren mit einer Kante verbunden sind. Diese Diagramme spielen eine wichtige Rolle in der Graphentheorie.

Ein vollständiger Graph K n ist eine nicht orientierte Graph mit n Scheitelpunkten und{\ Anzeigeart {n \ wählen 2} = {\ frac {n (n-1)} {2}}} Kanten.

Beispiele

Die folgende Tabelle zeigt Diagramme von kompletten Graphen , K n für n zwischen 1 und 8, sowie der Anzahl der Kanten in jedem.

Gerichtete azyklische Graph

Ein gerichteter azyklischer Graph (Eng. Gerichteter azyklischer Graph , bekannt heute oder DAG ), ist in der Informatik und die Mathematik einen gerichteter Graphen ohne Flügel Kreise . Das heißt, für jeden Knoten v , gibt es keine nicht leere -orientierten Pfad , der beide beginnt und endet in v .

Terminologie

Eine Quelle (Source) ist ein Knoten ohne ankommende Kanten , während eine Senke ein Knoten ohne ausgehenden Kanten ist. Eine abschließende DAG mindestens eine Quelle und mindestens ein Waschbecken.

Die Länge eines letzten Tag, die Länge (Anzahl der Kanten) des längsten orientierten Pfad.

Seven Bridges von Königsberg

Seven Bridges von Königsberg oder Königs broproblem ist ein berühmtes mathematisches Problem, das von der Realität inspiriert ist. Der Fluss Pregel geht durch die Stadt Königsberg (heute Kaliningrad ) und insgesamt sieben Brücken , die die beiden Seiten der Stadt zusammen und mit zwei Inseln in der Mitte des Flusses. Die Frage ist , ob es möglich ist , einen Spaziergang durch die Stadt zu nehmen, so dass Sie genau einmal jede Brücke gehen.

Eulers Lösung

Euler bewies 1736 , dass es nicht getan werden könnte. Als er es bewiesen, neu formuliert er das Problem auf ein Diagramm teoretisk Problem. Er erkannte , dass Land und die Brücken Form hatte keine Wirkung und ersetzt die ländlichen Gebiete mit Punkten und verbanden sie mit Linien (auch genannt Kanten). repräsentiert die Brücken.

Die Form eines Diagramms kann geändert werden, wie Sie möchten, ohne die grafische Darstellung ändern, solange die Kanten zwischen den Knoten gleich sind. Dabei spielt es keine Rolle, ob die Kanten zwischen den Punkten gleich sind, oder wenn ein Hub nach rechts oder links von einem anderen befindet.

Euler erkannte , dass das Problem durch lediglich betrachten gelöst werden könnte die Wertigkeit des Knoten, das heißt die Anzahl der Kanten , die in einem Knoten Endpunkt haben. In der graphischen Darstellung der Königs Brücken hat drei Knoten Wertigkeit 3, während ein Knoten Wertigkeit hat 5. Euler bewiesen , dass es ein Weg ist , die nur einmal über alle Kanten geht, wenn und nur wenn der Graph ist konsistent , und nur zwei oder gar keine Knoten hat ungeradee Wertigkeit. Solch eine Strecke heute eine genannter Euler – Tour . Es gilt auch , dass , wenn es zwei Knoten mit ungerader Wertigkeit sind, dann diese beiden Punkte zu beginnen und Endknoten der Euler – Tour. Wie der Graph von Brücken Königs vier Knoten ungerader Wertigkeit enthält, gibt es keine Euler – Tour von Königsberg Brücken.

Dies kann mit einem konkreten Beispiel erläutert werden: Die östliche Insel verfügt über drei Brücken. Wenn Sie auf die Insel über eine Brücke kommen, müssen Sie es über die zweite oder dritte Brücke verlassen. Wenn Sie die zweite wählen, können Sie später Rückkehr des dritten, aber wie bekommt man so weit? Wir haben nun über die drei Brücken genau einmal jede und sind nun auf der Insel weg, aber ist nicht das Ziel. Um zum Ziel zu bewegen auf, ist es daher notwendig, die entlang einem der drei Brücken fortzusetzen, aber so überquert zweimal die gegebene Brücke, die gerade nicht wollte. Muss Wunsch erfüllt ist eine vierte untrodden Brücke notwendig, aber eine solche nicht existiert.

Auswirkungen auf die Geschichte der Mathematik

Eulers Lösung Königs broproblem gilt als der erste Satz in der Graphentheorie sein. Darüber hinaus ist es interessant , dass Euler erkannte , dass es nicht die Brücken genaue Lage war, aber was sie zugeordnet ist , war wichtig. Das erinnert nämlich an den Gedanken hinter Topologie , die später erfunden wurde.

Die Brücken heute

Die westlichen O`s zwei Brücken mit dem Festland wurde während einer britischen Bombardierung von Konigsberg während zerstört dem Zweiten Weltkrieg , während die Russen später die beiden westlichen mit einem modernen højgade ersetzt. Die drei anderen Brücken noch existieren, obwohl man von den Deutschen im Jahr 1935. Insgesamt wieder aufgebaut wurde gibt es nun fünf Brücken von Königsberg.

Konvertierte Grafik verfügt über zwei Punkte (Flußufer) jetzt Wertigkeit 2 und die beiden anderen (die Inseln) Wertigkeit 3. Es ist nun möglich , einen Spaziergang zu machen, wo man jede Brücke genau einmal eintritt. Doch die , egal was immer auf einer Insel beginnen und auf der anderen Seite zu beenden. Eine Tour ist noch nicht möglich. [1]

Schaltung (Grafik)

Eine Schaltung (Eng. Zyklus ) in einem Graphen ist eine Liste des n verschiedene Ecken v 1 , v 2 , v 3 , …, v n-1 , V n , wobei jeder Knoten v in der Liste durch angeschlossen ist. eine Kante mit dem benachbarten Knoten v i + 1 und wird weiter Knoten V nRand verbunden V 1 . Die Länge eines Kreises ist die Anzahl der Knoten in der Liste, wobei jede Schaltung Länge ≥ 3 . Graphs Schaltung der Länge N wird oft bezeichnet C n . Auf der Figur wird Zeichnungen des ersten gesehen C n Diagramme:

Knud Färbung

Knud Coloring ein Graph bezieht sich auf die Zuweisung von Farben für die Graph – Knoten derart , dass zwei beliebige Kante verbundenen Knoten haben unterschiedliche Farben – dies wird als eine richtige Knoten Färbung. Es ist klar , dass für einen beliebigen Graph tatsächliche knudefarvninger sind, nämlich von jedem Knoten eine separate Farbe zugewiesen wird . Die Farben specifieres bei einer Ansicht φ: V → F , wobei F , beispielsweise einen Teil der sein kann natürlichen Zahlen . φ (v) ist v ∈ V gegebene Farbe in dem V von Knoten in dem Graph mænden wird. Die minimale Anzahl von Farben in einer aktuellen Knoten Färbung eines Graphen G wird , um die genannte chromatische Zahl oder die knudekromatiske Zahlen , für die G und es wird bezeichnet χ (G) .

Beispiele für die Knotenfärbung für verschiedene grafische Darstellungen

  • Die vollständigen Graphen K n haben alle chromatischen Figuren χ (K n ) = n , wobei n eine natürliche Zahl ist. Wenn beliebiger unterschiedlicher Knoten in K n Rand verbunden ist, damit jeder Knoten seine eigene Farbe hat.
  • Ein Graph G hat einen leeren Kantenbetrag nur dann , wenn der Knoten mit einer einzigen Farbe gefärbt werden kann; d.h. χ (G) = 1 . Ein solches besteht ein Graph nur eines Knotens.
  • Eine Gruppe C n eines aus gleicher Anzahl von Knoten (und Kanten), die chromatische Abbildung 2. Die Anfärbung des 2 , indem die Farben wechseln sich entlang der Schaltung erhalten Graph, d.h. Verwenden Sie die Farben abwechselnd (siehe Abbildung). Während eine Gruppe C n einer ungeraden Anzahl von Knoten (und Kanten) chromatische Zahl hat 3. Wenn Sie versuchen , das Diagramm , um Farbe durch die zwei Farben wechseln sich entlang der Rennstrecke zu lassen, werden Sie feststellen , dass der letzte Knoten werden mit zwei Kanten farbig verbunden sind , Endknoten haben verschiedene Farben. Dass dieser Knoten mit einer dritten Farbe entsprechend die Definition einer geeigneten Kantenfärbung gefärbt werden.

Kante Coloring

Kantenfärbung ein Graph bezieht sich auf die Zuweisung von Farben zu den Graphkanten in einer solchen Weise , dass alle Kanten mit gemeinsamen Endknoten verschiedenen Farben zugeordnet ist – dies ist ein aufgerufen wird richtige Kantenfärbung . Es gibt immer solche Farbzuweisungen an die Kanten eines Graphen, zum Beispiel. mit einer getrennten Farbe zu jeder Kante. Eine Farbzuordnung kann durch angegeben werden Mapping E →: φ F für eine geeignete Farbmenge F , zum Beispiel. ein Teil der natürlichen Zahlen , wobei e von Kanten in dem Graphen mænden.

Es kantkromatiske Nummer eines Graphen G die minimale Anzahl von Farben in einer geeigneten Kantenfärbung ist G . Diese Größe ist bezeichnet & khgr; ‚(G) (χ ist ein griechisches wenig KHI) Es gibt mindestens Δ (G) verschiedene Farben in einem tatsächlichen Kante Färben enthalten, wobei Δ (G) , um die repräsentiert maximale Knoten Valenz von G . Dies ist offensichtlich, da die Kanten an den Knoten mit maximaler Wertigkeit verbunden ist , müssen verschiedene Farben haben.

Ein Hauptergebnis der Kanten Färben – Vizings Satz sagt , daß jeder Graph G gefärbt Kante Δ (G) + 1 Kante Farben. Dieses Ergebnis zeigt daher , daß die dargestellte Graph entweder Kante mit Δ (G) oder Δ (G) + 1 Kante Farben gefärbt werden kann.

Euler-Tour

Eine Fahrt in einem Diagramm namens eine Euler – Tour , wenn sie alle Kanten in dem Diagramm enthält. (Die Kanten einer Reise ist voneinander verschieden.)

Ein Diagramm, in dem eine Euler-Tour geschlossen ist ein Euler Graph bezeichnet.

Das Konzept der Euler – Tour ist mit zugehörigem Leonhard Euler , den Berichten zufolge untersucht , ob es möglich war , eine Wanderung von Königsberg / zu organisieren Kaliningrad , die die Stadt Brücken bestand genau einmal jeder. Dieses Problem wird genannt Königs broproblem