Graphentheorie

Graphentheorie die Studie von Graphen und Problemen, die zu Graphen reduziert werden können, und in diesem Zusammenhang ist sowohl ein Bereich der diskreten Mathematik und ein wichtiges Instrument in der Informatik , in dem sie verwendet werden , können viele Aufgaben wie Terminplanung, Routenfindung, jobtilordning, zu lösen Zeichnung von Zeichen in einer Zeile, und die lineare Programmierung . Darüber hinaus grafische Darstellungen von großer Bedeutung in der Komplexitätstheorie .

Ein Graph kann in diesem Zusammenhang durch einen Graphen dargestellt werden , die aus einer Vielzahl von Punkten ( Knoten an eine Vielzahl von angeschlossenen) Kanten . Jede Kante wird als ein Liniensegment (oder Kurvenstück) mit Knoten dargestellt als zwei Endpunkte.

Definitionen

Ein Diagramm oder unorientierten Graph G ist ein Paar ( V , E ) , umfassend

  • ein Volumen V von Knoten ,
  • eine Menge EV (2) die Paarmenge von Vertices in V genannten Kanten .

Beachten Sie, dass diese Definition nicht erlaubt Schlaufen (Kanten von einem Knoten zu sich selbst) oder Doppelkanten (2 oder mehr Kanten zwischen den gleichen zwei Knoten). Ein solcher Graph wird während der Zeit eines gerufenen einfachen Graphen , und eine Kurve , wo man die Schleife und die Doppelränder erlauben kann, manchmal auch als ein Pseudo Graph .

Die Grafik auf dem Bild besteht aus

  • V = {1, 2, 3, 4, 5, 6},
  • E = {{1,2}, {1,5}, {2,3}, {2,5}, {3,4}, {4,5}, {4,6}}.

Ein Pfad in einem Graphen ist ein Ergebnis ( V 1 , V 2 , …, v n ) von Knoten in V , dann { V in , V in + 1 } ∈ E für alle 1 ≤ in <n.

Ein Fahrrad oder Kreis ist ein Pfad ( v 1 , v 2 , …, V n ) ist , dann v inv j für inj und { v n , v 1 } ∈ E .

Die Anzahl der Kanten , die von einem Knoten aufgerufen , seine Valenz .
Ein Graph G = ( V , E ) aufgerufen

  • abgeschlossen , wenn E = V (2) , d.h. gibt es Kanten zwischen allen Knoten,
  • kohärent , wenn es einen Weg zwischen allen Knoten vorhanden ist , oder, mit anderen Worten, für alle v , wV , muss es einen Pfad ( v 1 , v 2 , …, V n ) ist , dann v = v 1 und w = v n ,
  • zweiteilige , wenn die Menge von Knoten V kann in zwei unterteilt werden disjunkte Mengen X und Y ( das heißt, V = XY , XY = N), so dass alle Kanten zwischen den beiden Teilen des Graphen verlauf eX und eY für alle eE .
  • eine ebene Graphen , wenn es in dem Plan (auf einem Stück Papier gezeichnet) eingebettet werden kann , so dass keine Kanten schneiden,
  • einen Wald , wenn es keine Zyklen in der grafischen Darstellung , die durch mehr als zwei Knoten geht,
  • ein Baum , wenn es sich um einen kontinuierlicher Wald.

Ein gerichteter Graph (möglicherweise. Digraph im Englisch Digraph – gerichtete Graphen) G ist das Paar ( V , E ) , umfassend

  • ein Betrag V von Knoten,
  • eine Menge EV ² geordneter Paare von Knoten , auch Kanten genannt.

In einem gerichteten Graphen Kanten sind durch Pfeile gezeichnet, so dass man sehen kann, wie die Ränder beginnen und enden.

Geschichte

Graphentheorie geht auf das Jahr 1736 zurück , als Leonhard Euler , eine Lösung für veröffentlichten König broproblem , die die Bestimmung besteht , ob es möglich ist , alle sieben Brücken über den Fluss zu überqueren Pregel in dem damals Königsberg ohne zweimal über eine Brücke. Euler es geschafft , eine notwendige Voraussetzung für einen solchen Dienst zu beschreiben und war somit in der Lage zu beweisen , dass ein solcher Weg nicht möglich ist. In diesem Zusammenhang benutzte er Methoden , die heute unter der Graphentheorie fallen würden.

Die Begriff der Graphentheorie war zum ersten Mal im Jahr 1878 , die von Sylvester und dem ersten im Jahr 1936 von veröffentlichten Lehrbuch Dénes König . Durch Informatik wachsende Bedeutung in der zweiten Hälfte des zwanzigsten Jahrhunderts, in den letzten Jahrzehnten Graphentheorie gewonnen erheblicher Bedeutung, aber immer noch viele ungelöste Probleme enthält.

Probleme

  • Das Reiseproblem (eng: Reise Salesman Problem, TSP).
  • Konigsberg broproblem (Eulergrafer)